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本篇把前十篇的知识全部装配起来：用多文件工程，从零排版一篇带摘要、公式、图表和参考文献的完整小论文。 建议照着做一遍——看会了不等于写会了，完整走过一次流程，LaTeX 就真正属于你。

项目结构​

先规划目录：骨架与内容分离，每章一个文件。

paper/
├── main.tex          # 骨架：导言区 + 按顺序组装各章节
├── refs.bib          # 参考文献数据库
├── figures/
│   └── fit.png       # 插图
└── sections/
    ├── abstract.tex  # 摘要
    ├── intro.tex     # 引言
    ├── method.tex    # 方法
    ├── result.tex    # 实验结果
    └── conclusion.tex# 结论

main.tex：项目骨架​

骨架文件只做三件事：加载宏包、声明标题、按顺序组装。

实例：main.tex​

\documentclass[12pt, a4paper]{ctexart}

% -------- 页面与基础宏包 --------
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=2.5cm}
\usepackage{amsmath, amssymb}   % 数学
\usepackage{graphicx}           % 插图
\usepackage{booktabs, multirow} % 三线表
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=blue,
          citecolor=blue, urlcolor=blue]{hyperref}

% -------- 标题信息 --------
\title{基于最小二乘法的周期信号拟合研究}
\author{UniResearch}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\input{sections/abstract}     % 摘要
\input{sections/intro}        % 引言
\input{sections/method}        % 方法
\input{sections/result}       % 实验结果
\input{sections/conclusion}    % 结论

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{refs}            % 参考文献

\end{document}

基于最小二乘法的周期信号拟合研究

UniResearch

2026 年 8 月 20 日

摘要 本文研究周期信号的参数化建模方法，基于最小二乘准则推导了正弦模型 y=Asin⁡(ωx+φ)+cy = A\sin(\omega x + \varphi) + c 的估计流程，并在合成数据上验证了方法的有效性。实验表明，低噪声条件下拟合相对误差低于 1%。

关键词： 最小二乘法；周期信号；参数估计

各章节内容​

每个文件就是一段普通正文，以摘要和引言为例。

实例：sections/abstract.tex​

\begin{abstract}
本文研究周期信号的参数化建模方法，基于最小二乘准则推导了正弦模型
$y = A\sin(\omega x + \varphi) + c$ 的估计流程，
并在合成数据上验证了方法的有效性。

实验表明，低噪声条件下拟合相对误差低于 1\%。

\medskip
\noindent\textbf{关键词：}最小二乘法；周期信号；参数估计
\end{abstract}

摘要 本文研究周期信号的参数化建模方法，基于最小二乘准则推导了正弦模型 y=Asin⁡(ωx+φ)+cy = A\sin(\omega x + \varphi) + c 的估计流程，并在合成数据上验证了方法的有效性。实验表明，低噪声条件下拟合相对误差低于 1%。

关键词： 最小二乘法；周期信号；参数估计

实例：sections/intro.tex​

\section{引言}\label{sec:intro}
周期信号广泛存在于通信、振动分析与生物医学工程等领域，
对这类信号进行参数化建模是滤波、预测与压缩的共同基础~\cite{oppenheim1997}。
经典的最小二乘法为模型参数估计提供了系统化的求解框架~\cite{bjorck1996}。

本文的组织如下：第~\ref{sec:method} 节建立模型并给出求解步骤，
第~\ref{sec:result} 节报告实验结果，第~\ref{sec:conclusion} 节总结全文。

1 引言​

周期信号广泛存在于通信、振动分析与生物医学工程等领域，对这类信号进行参数化建模是滤波、预测与压缩的共同基础[2]。经典的最小二乘法为模型参数估计提供了系统化的求解框架[1]。

本文的组织如下：第 2 节建立模型并给出求解步骤，第 3 节报告实验结果，第 4 节总结全文。

方法部分放公式，实验部分放图表，套路你已经全部见过。

实例：sections/method.tex（公式部分）​

\section{方法}\label{sec:method}
考虑如下正弦模型：
\begin{equation}\label{eq:model}
y = A \sin(\omega x + \varphi) + c,
\end{equation}
其中 $A$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\varphi$ 为初相位，$c$ 为直流分量。

参数估计的目标是最小化残差平方和
\begin{equation}\label{eq:loss}
S(A, \omega, \varphi, c)
= \sum_{i=1}^n \left( y_i - A \sin(\omega x_i + \varphi) - c \right)^2 .
\end{equation}
对于固定的 $\omega$，式\eqref{eq:loss} 关于其余参数是线性最小二乘问题，
可由正规方程直接求解。

2 方法​

考虑如下正弦模型：

y=Asin⁡(ωx+φ)+c(1)y = A \sin(\omega x + \varphi) + c \tag{1}

其中 AA 为振幅，ω\omega 为角频率，φ\varphi 为初相位，cc 为直流分量。

参数估计的目标是最小化残差平方和

S(A,ω,φ,c)=∑i=1n(yi−Asin⁡(ωxi+φ)−c)2(2)S(A, \omega, \varphi, c) = \sum_{i=1}^n \left( y_i - A \sin(\omega x_i + \varphi) - c \right)^2 \tag{2}

对于固定的 ω\omega，式 (2) 关于其余参数是线性最小二乘问题，可由正规方程直接求解。

实例：sections/result.tex（图表部分）​

\section{实验结果}\label{sec:result}
在 $[0, 2\pi]$ 上等间隔采样 $n = 200$ 个点生成合成数据，
并加入标准差为 $0.05$ 的高斯噪声。
拟合曲线与带噪声采样点的对比如图\ref{fig:fit} 所示，
不同噪声水平下的误差指标见表\ref{tab:err}。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/fit}
\caption{拟合曲线（实线）与带噪声采样点（散点）}
\label{fig:fit}
\end{figure}

\begin{table}[htbp]
\centering
\caption{不同噪声水平下的均方根误差}
\label{tab:err}
\begin{tabular}{lccc}
\toprule
噪声标准差 & 0.01 & 0.05 & 0.10 \\
\midrule
RMSE & 0.011 & 0.053 & 0.104 \\
相对误差 & 1.1\% & 5.3\% & 10.4\% \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}
\end{section}

3 实验结果​

在 [0,2π][0, 2\pi] 上等间隔采样 n=200n = 200 个点生成合成数据，并加入标准差为 0.05 的高斯噪声。拟合曲线与带噪声采样点的对比如图 1 所示，不同噪声水平下的误差指标见表 1。

拟合曲线

图 1：拟合曲线（实线）与带噪声采样点（散点）

表 1：不同噪声水平下的均方根误差

噪声标准差0.010.050.10RMSE0.0110.0530.104相对误差1.1%5.3%10.4%\begin{array}{lccc} \hline \text{噪声标准差} & 0.01 & 0.05 & 0.10 \\ \hline \text{RMSE} & 0.011 & 0.053 & 0.104 \\ \text{相对误差} & 1.1\% & 5.3\% & 10.4\% \\ \hline \end{array}

refs.bib 里是两条文献数据，正文用 \cite{oppenheim1997}、\cite{bjorck1996} 引用（完整写法见第9篇）。

编译与效果​

多文件项目只需编译 main.tex，\input 会自动展开。带文献的完整流程：

$ cd paper
$ latexmk -xelatex main.tex    # 一键完成（推荐）
# 或者手动四步：xelatex -> bibtex -> xelatex -> xelatex

第一页效果（标题区、摘要与关键词、引言的引用编号）：

\title{基于最小二乘法的周期信号拟合研究}
\author{UniResearch}
\date{\today}

\begin{abstract}
本文研究周期信号的参数化建模方法，基于最小二乘准则推导了正弦模型
$y = A\sin(\omega x + \varphi) + c$ 的估计流程，
并在合成数据上验证了方法的有效性。

实验表明，低噪声条件下拟合相对误差低于 1\%。

\medskip
\noindent\textbf{关键词：}最小二乘法；周期信号；参数估计
\end{abstract}

\section{引言}\label{sec:intro}
周期信号广泛存在于通信、振动分析与生物医学工程等领域，
对这类信号进行参数化建模是滤波、预测与压缩的共同基础~\cite{oppenheim1997}。
经典的最小二乘法为模型参数估计提供了系统化的求解框架~\cite{bjorck1996}。

本文的组织如下：第~\ref{sec:method} 节建立模型并给出求解步骤，
第~\ref{sec:result} 节报告实验结果，第~\ref{sec:conclusion} 节总结全文。

基于最小二乘法的周期信号拟合研究

UniResearch

2026 年 8 月 20 日

摘要

本文研究周期信号的参数化建模方法，基于最小二乘准则推导了正弦模型 y=Asin⁡(ωx+φ)+cy = A\sin(\omega x + \varphi) + c 的估计流程，并在合成数据上验证了方法的有效性。实验表明，低噪声条件下拟合相对误差低于 1%。

关键词： 最小二乘法；周期信号；参数估计

1 引言

周期信号广泛存在于通信、振动分析与生物医学工程等领域，对这类信号进行参数化建模是滤波、预测与压缩的共同基础[2]。经典的最小二乘法为模型参数估计提供了系统化的求解框架[1]。

本文的组织如下：第 2 节建立模型并给出求解步骤，第 3 节报告实验结果，第 4 节总结全文。

第二页效果（公式编号与引用、浮动图、三线表、结论与参考文献）：

\section{方法}\label{sec:method}
考虑如下正弦模型：
\begin{equation}\label{eq:model}
y = A \sin(\omega x + \varphi) + c,
\end{equation}
其中 $A$ 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\varphi$ 为初相位，$c$ 为直流分量。

参数估计的目标是最小化残差平方和
\begin{equation}\label{eq:loss}
S(A, \omega, \varphi, c)
= \sum_{i=1}^n \left( y_i - A \sin(\omega x_i + \varphi) - c \right)^2 .
\end{equation}
对于固定的 $\omega$，式\eqref{eq:loss} 关于其余参数是线性最小二乘问题，
可由正规方程直接求解；$\omega$ 则在区间 $[\omega_{\min}, \omega_{\max}]$ 上网格搜索确定，
最终取使 $S$ 最小的参数组合。

\section{实验结果}\label{sec:result}
在 $[0, 2\pi]$ 上等间隔采样 $n = 200$ 个点生成合成数据，
并加入标准差为 $0.05$ 的高斯噪声。
拟合曲线与带噪声采样点的对比如图~\ref{fig:fit} 所示，
不同噪声水平下的误差指标见表~\ref{tab:err}。

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/fit}
\caption{拟合曲线（实线）与带噪声采样点（散点）}
\label{fig:fit}
\end{figure}

\begin{table}[htbp]
\centering
\caption{不同噪声水平下的均方根误差}
\label{tab:err}
\begin{tabular}{lccc}
\toprule
噪声标准差 & 0.01 & 0.05 & 0.10 \\
\midrule
RMSE & 0.011 & 0.053 & 0.104 \\
相对误差 & 1.1\% & 5.3\% & 10.4\% \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

\section{结论}\label{sec:conclusion}
本文将正弦拟合分解为「网格搜索 + 线性最小二乘」两步，
流程简单、求解稳定。
后续工作将把方法推广到多分量谐波信号，
并研究频率初值的自动估计。

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{bjorck1996}
Åke Björck. \textit{Numerical Methods for Least Squares Problems}. SIAM, 1996.
\bibitem{oppenheim1997}
Alan V. Oppenheim and Alan S. Willsky. \textit{Signals and Systems}. Prentice Hall, 2 edition, 1997.
\end{thebibliography}

2 方法

考虑如下正弦模型：

y=Asin⁡(ωx+φ)+c(1)y = A \sin(\omega x + \varphi) + c \tag{1}

其中 AA 为振幅，ω\omega 为角频率，φ\varphi 为初相位，cc 为直流分量。

参数估计的目标是最小化残差平方和

S(A,ω,φ,c)=∑i=1n(yi−Asin⁡(ωxi+φ)−c)2(2)S(A, \omega, \varphi, c) = \sum_{i=1}^n \left( y_i - A \sin(\omega x_i + \varphi) - c \right)^2 \tag{2}

对于固定的 ω\omega，式 (2) 关于其余参数是线性最小二乘问题，可由正规方程直接求解；ω\omega 则在区间 [ω_min, ω_max] 上网格搜索确定，最终取使 SS 最小的参数组合。

3 实验结果

在 [0,2π][0, 2\pi] 上等间隔采样 n=200n = 200 个点生成合成数据，并加入标准差为 0.05 的高斯噪声。拟合曲线与带噪声采样点的对比如图 1 所示，不同噪声水平下的误差指标见表 1。

Fitted curve

图 1：拟合曲线（实线）与带噪声采样点（散点）

表 1：不同噪声水平下的均方根误差

噪声标准差0.010.050.10RMSE0.0110.0530.104相对误差1.1%5.3%10.4%\begin{array}{lccc} \hline \text{噪声标准差} & 0.01 & 0.05 & 0.10 \\ \hline \text{RMSE} & 0.011 & 0.053 & 0.104 \\ \text{相对误差} & 1.1\% & 5.3\% & 10.4\% \\ \hline \end{array}

4 结论

本文将正弦拟合分解为「网格搜索 + 线性最小二乘」两步，流程简单、求解稳定。后续工作将把方法推广到多分量谐波信号，并研究频率初值的自动估计。

参考文献

[1] Åke Björck. Numerical Methods for Least Squares Problems. SIAM, 1996.

[2] Alan V. Oppenheim and Alan S. Willsky. Signals and Systems. Prentice Hall, 2 edition, 1997.

检查几个「自动化痕迹」：引言里的(^1)(^2)与文末文献一一对应；图和表都有自己的编号，正文引用「图1」「表1」全部正确；公式(1)(2)被\eqref引用为带括号的形式。

修改任何一处引用或编号，重跑一次latexmk，所有编号自动更新——这就是十篇内容换来的一份「再也不用手动核对编号」的文档。

真实世界：从模板开始​

实际写论文，你不该从零搭骨架——期刊和学校都提供现成模板。

模板来源去哪找特点
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期刊官网期刊 Author Guidelines 页面投稿指定格式，务必以此为准
学校学位论文模板学校图书馆 / GitHub 搜索「[校名] + thesis」满足校内格式审查
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全局的心法一句话： 只往占位符里填内容，不动模板结构。 模板里那些看不懂的导言区设置，是别人调好的格式，删改一处可能全盘崩坏。

小结​

环节本篇的实践
工程组织main.tex 骨架 + sections/分章 + figures/图片
导言区geometry、amsmath、graphicx、booktabs、hyperref
正文要素摘要、章节、公式、图表、交叉引用、文献
编译latexmk -xelatex 一键完成
效率建议真实投稿用官方模板，只填内容不改结构